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湖南省2024~2023学年度高一6月份联考(23-556A)数学试卷答案
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2．下列各函数中，最小值为2的是（ ）
| A． | $y=x+\frac{1}{x}$，x≠0且x∈R | B． | $y=\frac{sinx}{2}+\frac{2}{sinx}$，x∈（0，π） | ||
| C． | $y=\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$，x∈R | D． | y=ex+e-x，x∈R |
分析（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是以（3，1）为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆．
（2）先求出直线的直角坐标为x-y+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线x-y+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长．
解答解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴由sin2α+cos2α=1，
得曲线C的普通方程为（x-3）2+（y-1）2=10，
即x2+y2=6x+2y，
由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，
即ρ=6cosθ+2sinθ，
它是以（3，1）为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆．
（2）∵直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，
∴直线的直角坐标为x-y+1=0，
∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r=$\sqrt{10}$为半径的圆，
圆心C（3，1）到直线x-y+1=0的距离d=$\frac{|3-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$．
点评本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线被圆截得的弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、普通方程、参数方程互化公式的合理运用．
湖南省2024~2023学年度高一6月份联考(23-556A)数学
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