咸宁市2024-2023学年度下学期高二年级高中期末考试数学

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咸宁市2024-2023学年度下学期高二年级高中期末考试数学试卷答案

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20．作短轴长为2b的椭圆的内接矩形，若该矩形面积的最大值的取值范围是[3b²，4b²]，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

分析（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出a_n．
（2）T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1），可得b₁，b₃，利用2b₂=b₁+b₃，即可解出λ．再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₃=4，且a₃是a₂+4与a₄+14的等差中项，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=4}\\{2×4={a}_{1}q+4+{a}_{1}{q}^{3}+14}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴a_n=（-2）^n-1，或a_n=$16×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n-5}$．
（2）T_n=nλ•b_n+1（λ为常数，且λ≠1），
∴b₁=T₁=λb₂=16λ，
b₁+b₂=2λb₃，可得b₃=8+$\frac{8}{λ}$，（λ≠0）．
∵数列{b_n}是等差数列，
∴2b₂=b₁+b₃，
∴2×16=16λ+8+$\frac{8}{λ}$，λ≠1．
解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴b₁=8，公差d=b₂-b₁=8．
∴b_n=8+8（n-1）=8n．

点评本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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