山西省2023~2024学年度高三8月质量检测（243006D）数学

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山西省2023~2024学年度高三8月质量检测（243006D）数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=x²-a1nx和g（x）=x-a$\sqrt{x}$在x=1处的切线平行．
（1）试求函数f（x）和g（x）的单调增区间；
（2）设1＜b＜3，求证：lnb+$\sqrt{b}$＜2b．

分析根据题意可得两个复根共轭，即关于x轴对称，又与原点组成正三角形，则每个根与x轴的夹角为30度或150度，得到|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，化简即可．

解答解：因为两个复根共轭，即关于x轴对称．
又与原点组成正三角形，则每个根与x轴的夹角为30度或150度，其正切为$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
而复根为x=$\frac{1}{2}$（-a±i$\sqrt{4b-{a}^{2}}$），
所以有|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即4b-a²=$\frac{1}{3}$a²，
即b=$\frac{1}{3}$a²，
因为a≠0，否则a=b=0，两个复根都为0，不符．
所以有b＞0．

点评本题考查了共轭复数和复根的求法，属于基础题．

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