徽师教育·安徽省2024届高三8月质检数学

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徽师教育·安徽省2024届高三8月质检数学试卷答案

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13.(10分)如图(a),足够长的水平桌面上,P点左边光滑,右边粗糙。物块A在恒力F的拉动下从桌面左端开始运动,其v-t图如图(b)所示,已知A的质量m=1kg,重力加

分析以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

解答解：∵正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，
侧棱AA₁=2，
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值，
∴以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意，A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），
B（$\sqrt{3}$，1，0）C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设异面直线AB₁与BC₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-3+1+4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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