2023届高三总复习·S3名师原创模拟三数学试卷

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18．设x，y都是整数，且满足xy+2=2（x+y），则x²+y²的最大可能值为（　　）

分析由奇函数可将问题转化为求方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（3，+∞）上的所有实根之和，从而解得．

解答解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
y=$\frac{1}{x}$在其定义域上也是奇函数；
∴方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的所有实根之和为0，
故问题转化为求方程f（x）=$\frac{1}{x}$在（3，+∞）上的所有实根之和，
当x∈（3，4]时，f（x）=$\frac{1}{8}$•2^x-3，故$\frac{1}{8}$＜f（x）≤$\frac{1}{4}$，
而$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{3}$，
故当x=4时，方程f（x）=$\frac{1}{x}$成立；
可判断当x＞4时，f（x）＜$\frac{1}{x}$恒成立，故方程f（x）=$\frac{1}{x}$无解，
故方程f（x）=$\frac{1}{x}$在[-3，+∞）上的所有实根之和为4，
故选A．

点评本题考查了分段函数的应用及函数与方程的关系应用．

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