智慧上进·2023届高考总复习·单元滚动创新卷 新教材传统高考十二数学试卷

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8．下列四个命题：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinα+cosα＞1；②α∈（$\frac{π}{2}$，π）时，若sinα+cosα＜0，则|cosα|＞|sinα|；③对任意的向量，必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，正确的序号为①②③．

分析①f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；
②f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，因此，f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数；
③f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．

解答解：直接根据函数奇偶性的定义，判断如下：
①∵f（x）=（-sin2x）•（-cosx）=sin2x•cosx，
∴f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数；
②∵f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$．
∴f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，
因此，f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数；
③∵f（x）=$\frac{{e}^{sinx}+{e}^{-sinx}}{{e}^{sinx}-{e}^{-sinx}}$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．

点评本题主要考查了函数奇偶性的判断，涉及三角函数的诱导公式，属于中档题．

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