[开封一模]开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学

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[开封一模]开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学试卷答案

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12．在平面直角坐标系中，点M是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$，所确定的平面区域内的动点，N是圆x²+y²=1上任意一点，0为坐标原点，则|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|的最小值为2$\sqrt{2}$-1．

分析设|MF₁|=m，|MF₂|=n，∠MF₁F₂=α，∠MF₂F₁=β．△MF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin（α+β）}$，可得$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin（α+β）}$，a（sinαcosβ+cosαsinβ）=csinα+csinβ．（*）已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$，可得sinβ=$\frac{csinα}{a}$．代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα，利用同角三角函数的平方关系可得：a²=（csinα）²+$（c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα）^{2}$，利用cosα∈[-1，1），化简整理解出即可得出．

解答解：设|MF₁|=m，|MF₂|=n，∠MF₁F₂=α，∠MF₂F₁=β．
△MF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{n}{sinα}=\frac{m}{sinβ}=\frac{2c}{sin（α+β）}$，
∴$\frac{n+m}{sinα+sinβ}$=$\frac{2a}{sinα+sinβ}$=$\frac{2c}{sin（α+β）}$，
∴a（sinαcosβ+cosαsinβ）=csinα+csinβ．（*）
已知$\frac{a}{sinα}=\frac{c}{sinβ}$，∴sinβ=$\frac{csinα}{a}$．
代入可得acosβ=$c+\frac{{c}^{2}}{a}$-ccosα，
∴a²=（csinα）²+$（c+\frac{{c}^{2}}{a}-ccosα）^{2}$，
化为：cosα=$\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}{c}^{2}-2a{c}^{3}-{c}^{4}}{2（{a}^{2}{c}^{2}+a{c}^{3}）}$∈[-1，1），
化为-1≤$\frac{1-2{e}^{2}-2{e}^{3}-{e}^{4}}{2{e}^{2}+2{e}^{3}}$＜1，0＜e＜1，
化为e²+2e-1＞0，
解得$\sqrt{2}-1$＜e＜1．
解得e∈（$\sqrt{2}$-1，1）．
故答案为：（$\sqrt{2}$-1，1）．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、正弦定理、比例的性质、三角函数化简、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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