2023普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷(四)4数学

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2023普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷(四)4数学试卷答案

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12．已知点P（3，-3），Q（-5，2）则向量$\overrightarrow{PQ}$的坐标为（-8，5）．

分析求出A，B的坐标，联立直线方程和椭圆方程，求得交点M，再由向量的共线知识，即可得到答案．

解答解：由于直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B，
则A（-$\frac{a}{e}$，0），B（0，a），
$\left\{\begin{array}{l}{y=ex+a}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$消去y，
由e=$\frac{c}{a}$，得x²+2cx+c²=0，
解得M（-c，a-ec），
由|AM|=e|AB|，即有$\overrightarrow{AM}$=e$\overrightarrow{AB}$，即为
（-c+$\frac{a}{e}$，a-ec）=e（$\frac{a}{e}$，a），
即有a-ec=ae，由e=$\frac{c}{a}$可得1-e²=e，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负的舍去），
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，考查共线向量的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．

2023普通高等学校招生全国统一考试·模拟调研卷(四)4数学