2023届培优限时练·名校信息优化卷(四)4数学

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2023届培优限时练·名校信息优化卷(四)4数学试卷答案

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5．证明：设m是任一正整数，则a_m=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{m}}$不是整数．

分析（1）由S_n=aⁿ-1（a＞0，且a≠1），可得当n=1时，a₁=a-1，a₂=S₂-S₁．可得等比数列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．由于6a₁，a₃，a₂成等差数列，可得6a₁+a₂=2a₃，代入即可得出．
（2）b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答解：（1）∵S_n=aⁿ-1（a＞0，且a≠1），∴当n=1时，a₁=a-1，a₂=S₂-S₁=（a²-1）-（a-1）=a（a-1）．
∴等比数列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a．∵6a₁，a₃，a₂成等差数列，∴6a₁+a₂=2a₃，6a₁+a₁a=$2{a}_{1}{a}^{2}$，化为2a²-a-6=0，a＞0，解得a=2．∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$2（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$．
∴T_n=$2[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）]$=2$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$．

点评本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2023届培优限时练·名校信息优化卷(四)4数学