2023年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(三)3数学

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2023年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(三)3数学试卷答案

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1．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）如果对任意的x＞0，都有f（x）≥f（1）=2成立，求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），证明：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$．

分析（I） 由正弦定理化简已知可得a²-b²=c²-bc，代入a=2，b=2，即可解得c的值．
（II） 由（I）可求cosA=$\frac{1}{2}$，可求A=60°，又由基本不等式可得bc≤4，利用三角形面积公式即可得解．

解答解：（I） 由正弦定理得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，即a²-b²=c²-bc——–（3分）
因为a=2且b=2，所以解得：c=2．———————（5分）
（II） 由（I）知 $cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，则A=60°——————（7分）
因为a=2，
∴b²+c²-bc=4≥2bc-bc=bc，——————（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}•4•sin{60°}=\sqrt{3}$，此时三角形是正三角形—（12分）

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

2023年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(三)3数学