重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷(五)数学

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重庆康德2023年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷(五)数学试卷答案

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11．已知曲线C的参数方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=acosα}\\{y=bsinα}\end{array}}$（α为参数），曲线C上的点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$对应的参数α=$\frac{π}{4}$，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l过点P（1，0），且与曲线C于A，B两点，求|PA|•|PB|的范围．

分析设直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及F在以线段CD为直径的圆的外部，建立不等式，即可确定a的取值范围．

解答解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵F在以线段CD为直径的圆的外部，
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$＞0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，
于是（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=4x₁x₂-（a+3）（x₁+x₂）+3+a²＞0
设l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-a），
代入抛物线方程，得x²-（2a+12）x+a²=0，
∴x₁+x₂=2a+12，x₁x₂=a²，
∴4x₁x₂-（a+3）（x₁+x₂）+3+a²=3a²-18a-33＞0，
故a＞2$\sqrt{5}$+3或a＜-2$\sqrt{5}$+3，
又△=（2a+12）²-4a²＞0，得到a＞-3．
∴-3＜a＜-2$\sqrt{5}$+3．
故选：A．

点评本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．

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