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2024-2023学年安徽省七年级下学期阶段性质量监测(六)数学

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试题答案

2024-2023学年安徽省七年级下学期阶段性质量监测(六)数学试卷答案

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17.根据表,能够判断方程f(x)=g(x)在四个区间:①(-1,0);②(0,1);③(1,2);④(2,3)中有实数解的是②.(将正确的序号都填上)

x -1 0 1 2 3
f(x) -0.6 3.1 5.4 5.9 7
g(x) -0.5 3.4 4.8 5.2 6

分析(Ⅰ)由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,求解方程组可得a,b,c的值,则椭圆C的方程可求;
(Ⅱ)由题意可知,直线l的斜率存,设l:y=kx+m,联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系求得A,B的中点坐标,代入直线OP的方程求得k值,再由弦长公式求出
|AB|,再由点到直线的距离公式求出O到AB的距离,然后利用配方法求出使△OAB的面积最大时的m值,则直线l的方程可求.

解答解:(Ⅰ)由题意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=2}\end{array}\right.$.
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$;
(Ⅱ)如图,
由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,
设l:y=kx+m,
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0.
再设A(x1,y1),B(x2,y2),
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-8}{1+4{k}^{2}}$,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=$k(-\frac{8km}{1+4{k}^{2}})+2m$=$\frac{-8{k}^{2}m+2m+8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$.
∴AB的中点D为(-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}},\frac{m}{1+4{k}^{2}}$),
OP所在直线方程为y=$\frac{1}{2}x$,
∵线段AB的中点D在直线OP(O为坐标原点)上,
∴-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$,即k=-$\frac{1}{2}$.
∴l:y=-$\frac{1}{2}$x+m.
则|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}\sqrt{4-{m}^{2}}$.
O到直线l的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$.
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}$|AB|•d=$\sqrt{-{m}^{4}+4{m}^{2}}$.
∴当m2=2,(S△OABmax=2.
此时直线l的方程为y=$-\frac{1}{2}$x$±\sqrt{2}$.

点评本题考查椭圆方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的位置关系,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,常采用联立直线方程与圆锥曲线方程,化为关于x的方程后,利用根与系数的关系求解,考查了计算能力,是中档题.

2024-2023学年安徽省七年级下学期阶段性质量监测(六)数学

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