［广东二模］广东省2023届高三年级第二次模拟考试数学

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［广东二模］广东省2023届高三年级第二次模拟考试数学试卷答案

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3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b+c）（b+c-a）=bc，则A=（　　）

分析先根据双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得出它的一条渐近线方程为：y=$\sqrt{3}$x，其倾斜角为60°，从而得到∠POx=60°又|OP|=2，故可得P点的坐标，将P的坐标代入椭圆方程得a从而求出椭圆的离心率．

解答解：根据双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得出它的一条渐近线方程为：y=$\sqrt{3}$x，其倾斜角为60°，
设这条渐近线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}$=1相交于点P，
则∠POx=60°且|OP|=2，故可得P点的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
代入椭圆方程得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}-4}$=1，⇒a=$\sqrt{3}$+1或a=$\sqrt{3}$-1＜2（不合，舍去）
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-4}$=1的a=$\sqrt{3}$+1，b²=2$\sqrt{3}$，
∴c=2，
则椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：A．

点评本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．

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