2023届湖北省高三年级5月份考试数学

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2023届湖北省高三年级5月份考试数学试卷答案

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3．已知动点P（x，y）满足$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\frac{|3x+4y+12|}{5}$，则点P的轨迹是（　　）

分析通过以焦点F为极点、OF为极轴建立极坐标系，利用S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•|OF|•|PQ|sinθ计算即得结论．

解答解：以焦点F为极点，OF为极轴建立极坐标系，
则抛物线方程为：ρ=$\frac{2a}{1-cosθ}$，
设点P的极角为θ（0＜θ＜π），则点Q的极角为π+θ，
∴b=|PQ|=$\frac{2a}{1-cosθ}$+$\frac{2a}{1-cos（π+θ）}$=$\frac{4a}{si{n}^{2}θ}$，即sinθ=2$\sqrt{\frac{a}{b}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•|OF|•|PQ|sinθ
=$\frac{1}{2}$•a•（|PF|+|FQ|）sinθ
=$\frac{1}{2}$•ab•2$\sqrt{\frac{a}{b}}$
=a$\sqrt{ab}$．

点评本题考查抛物线的简单性质，建立极坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

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