百校联赢·2023安徽名校大联考最后一卷数学

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百校联赢·2023安徽名校大联考最后一卷数学试卷答案

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6．已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为S，T，直线ST恰好经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与x轴交于S，Q点，已知点P满足$\overrightarrow{PS}•\overrightarrow{PQ}$=0，点A，B在椭圆C上且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0（O为坐标原点），求△PAB面积的最大值．

分析根据椭圆的定义，得（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=12，由此可得|AB|=12-（|AF₂|+|BF₂|）=4，得到本题答案．

解答解：∵椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴a=3，b=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{6}$．
根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=6
得（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=12
∵AB是过椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1左焦点F₁的弦，得|AF₁|+|BF₁|=|AB|
∴|AB|=12-（|AF₂|+|BF₂|）=12-8=4
故答案为：4

点评本题给出椭圆经过左焦点的弦AB，在已知A、B到右焦点的距离和的情况下求弦AB长．着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．

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